Профессор РАН, специалист в области астрофизики компактных объектов (нейтронных звезд, черных дыр) Сергей Попов уверен, что математика способна эффективно описать окружающий мир.

Как именно математика описывает мир?

По этому поводу есть разные точки зрения. Одна состоит в том, что математика — это язык. И мы можем описывать мир на языке математики. Другая говорит, что структура мира непосредственно является математикой. Математика не случайна, мы не придумываем математические истины, а открываем точно так же, как новые виды животных. Все остальное находится где-то в середине этих крайностей. Математика как язык, наверное, ближе большинству ученых, они стихийно отнесли бы себя к этому флангу. На другом краю есть всякие известные люди, например космолог Макс Тегмарк, его книжка «Наша математическая вселенная» переводилась на русский.

Я специально не обращаю внимания на религиозные аспекты, но, если мы о них вспомним, тогда, наверное, люди окажутся ближе к Тегмарку. Известные слова Галилея о том, что книга природы написана на языке математики, как бы подразумевают вопрос: кем написана? Для Галилея, очевидно, вопроса здесь не было, точно так же, как и для Ньютона. Метафора XVII века «Бог как великий часовщик» описывает создателя творящим все по определенным математическим законам. Однако, я думаю, подавляющее большинство современных ученых во время работы действуют в другой парадигме. И тогда мы снова возвращаемся к названным двум крайностям. Я думаю, что действительно математика — это способ понимания мира, рассказывания самому себе об этом мире.

И здесь существенно договориться о том, что мы подразумеваем под словом «понимание».

Понимание бывает разным. Можно выделить разные его уровни. Первый этап — уложить у себя в голове некую картину. Второй этап — быть способным рассказать об этом другим. Третий этап — уметь применять. И четвертый — уметь развивать. Все это — четко отделяющиеся друг от друга этапы. Например, мифологическое сознание по сути не дает возможности развивать, влиять на понимание. Поэтому магия не работает, а техника — вполне. Именно техника стала бурно развиваться, когда вышла за рамки более или менее простого опыта. Скажем, как строить прочный мост? Вот некая гильдия мостостроителей десять поколений строила мосты. Половина упала, зато они в итоге научились строить без всяких формул, выработали некий метод, традицию. Но если вы вырабатываете формулы, то вы можете строить совершенно удивительные мосты, которые не падают никогда.

В некотором смысле аналогией математики, на мой взгляд, является литература. Литература — это тоже вымышленный мир, но не романы Донцовой и даже не боевая научная фантастика, а доведенные до предельного накала страстей и эмоций события. Скажем, абсурдистская литература находится в поиске языка для описания реальности. Это постоянно развивающаяся надстройка над языком: поэтические образы, цитаты, отсылки к героям — они важны, потому что помогают описывать мир. Эффективность математики похожа на эффективность литературы. Есть литературные персонажи, которые оказались настолько показательны, что их в некотором смысле и ученые не рассматривают как вымысел. Самый яркий, наверное, пример — это царь Эдип из трагедии Софокла. Можно поискать и другие. Поэзия в этом смысле еще более похожа на математику: придумывает метафоры, тропы, обогащает наш словарь не в смысле слов, а в смысле тех кирпичиков, из которых мы можем создавать у себя в голове описание мира.

Математика тоже создает описание мира, которое на первом этапе позволяет именно укладывать в голове. Существенно, что математика работает при этом как потрясающий инструмент, который помогает не только объяснить, но и развивать. Удивительное свойство математики состоит в том, что манипуляция с символами на бумаге дает ответ, существует ли или возможно ли в природе нечто реальное.

Математика восхищает тем, что формулой можно описать реальность, творить ее, как писатель делает это словом. Но если архетип вписывается в стратегию формулы, то как быть с многомерностью зависящего от случайных переменных творчества?

Не будем мельчить: представим, что мы приходим к условным древним грекам, говорим по-древнегречески и переводим на древнегреческий постмодернистский роман с его потоками сознания, вложенными планами, метапрозой и интертекстуальностью. Это примерно то же, как прийти к древним математикам с концепцией многомерности пространства. Вспомним «Поминки по Финнегану»: Джойс описывает такие штуки, которые — и это очень важно — до этого, например, считались принципиально невозможными. Просто не знали, как к этому подступиться. То же самое происходит в математике. Только здесь это будет не экспериментальный словотворческий роман с мотивом уробороса, бесконечного возвращения, а какое-нибудь сравнение двух бесконечных множеств: вот у нас есть одна бесконечность и другая бесконечность — какая из них больше? И если интуитивно они равны, то нам понадобится придумать новый язык, чтобы показать разницу. Здесь нам важна преемственность, соответствие предыдущего новому, то есть новое, как правило, объемлет предыдущее. В многоплановых постмодернистских романах отдельные кусочки выглядят как нормальные рассказы, а все вместе сплетается в какую-то новую интересную сеть.

Математика показала свою совершенно поразительную эффективность как метод познания того, что мы называем реальным миром, то есть мир внешних объектов. При этом она способна делать это на разных наречиях. Возьмите «Математические начала натуральной философии» Ньютона — там формул почти нет, зато картинок очень много, геометрических рисунков, которые объясняют его идеи. В «Физике» Аристотеля вообще формул нет, если я правильно помню.

Любопытно, что вы сравниваете математику и литературу, когда традиционная культура их противопоставляет.

Математика, как и литература, открывает нам больше возможностей, чем мы реально встречаем в своей жизни. И важно, с одной стороны, не переоценивать математику (не все, что посчитали — это формально правильно с точки зрения математики, и не все это обязательно обнаружится в нашем мире), а с другой — важно пытаться выяснять, что же из математических конструкций подходит для описания реальных явлений и, наоборот, как для описания реальных явлений привлечь математические конструкции.

Иногда теория опережает практику. Например, мир античастиц был открыт именно благодаря анализу уравнений.

Математика, как и литература, развивается не сама по себе. Последняя естественно связана с тем, что происходит в обществе. Иногда немножко опережает, чаще немножко отстает. То же самое происходит во взаимоотношениях математики с естественными и другими науками. Так это было у Эйнштейна. Общая теория относительности — тензорная теория, но Эйнштейн как следует тензорами вначале не владел, ему не приходило в голову, что их можно использовать. Ему друг-математик Марсель Гроссман объяснил, что эти математические структуры подходят для описания его теории. До этого все остальные фундаментальные физические теории не использовали такой язык в принципе. То же самое происходит, на мой взгляд, во взаимоотношениях «искусство и жизнь». То есть надо было быть Пикассо, чтобы догадаться, что весь этот кошмар бомбардировки Герники нужно было изобразить именно такими методами. Сравните с «Последним днем Помпеи», например. И там и там кошмар, и там и там что-то валится с небес, и там и там смерть, но воспринимается это по-разному. Пикассо нашел совершенно новый метод описания. В математике это бывает так же продуктивно, как и в искусстве. В обоих случаях мы видим прогресс, движение вперед и преемственность. И этот новый метод, во-первых, лучше и точнее описывает уже известные явления, а во-вторых, позволяет описать и принципиально новые явления. И вот это существенно. Математика и правда открывает новые сущности. Иногда теория просто опережает практику. Например, мир античастиц был открыт именно благодаря анализу уравнений. Поль Дирак вначале записал уравнение, где появился позитрон, потом позитрон был открыт, ну а потом открылся и весь мир античастиц. И такие примеры не единичны, по крайней мере в науке.

Насколько просто математика дается математикам?

Это, кстати, большая проблема, сейчас в меньшей степени, но раньше она реально ломала жизни. Если в школе ты хорошо решаешь задачки, то поступай на мехмат. А там вообще про другое. Даже я не смог бы заниматься именно математикой, у меня не так мозг устроен. Современная профессиональная математика совсем не похожа на школьное о ней представление. Это некий внутренний мир; хочется сказать «формальный», но это слово у нас немножко не тот смысл приобрело.

Математик может вообще не думать о том, как будет применяться результат его работы. Это точно так же, как разница между художниками и дизайнерами. Художник может не думать, подойдет ли его картина для принта на футболке, впишется ли его скульптура в интерьер. И большая часть математиков поступает так же. Большой секрет математики в том, что ученые десятилетия назад что-то разработали, а придумать, к чему это применить, смогли только сейчас. Сейчас, с ростом информатизации всего вокруг, математические методы становятся очень востребованными. И мы многое можем делать не потому, что компьютеры стали мощнее, а потому, что люди используют совершенно новые алгоритмы работы с информацией, и это помогает быстро обрабатывать очень большие объемы данных.

Фундаментальной математикой занимаются люди с очень особым стилем мышления. Особо интересующиеся могут почитать книжку «О науке» Анри Пуанкаре. Это выдающийся математик конца XIX — начала ХХ века, почти наш современник. Многое из того, что сейчас является передовыми областями исследования, например теория хаоса, возникало в работах Пуанкаре. Так вот, в своих работах он как раз пытался описать, как он думает. Это довольно редкий пример, когда математик очень высокого уровня пробует это сделать, и у него получается показать работу своей мысли.

Как именно работают математики?

Математику можно было бы назвать идеальной профессией для удаленной работы, но сложность в том, что, как и всем теоретикам, математикам очень нужно общение. У них должна быть возможность думать в изоляции, но должна быть и возможность встречаться с другими, обмениваться идеями. Наверное, с зумами, скайпами, со всем остальным это проще стало делать, но надо иногда физически вместе стоять у доски, с бумажками — как-то по-другому контакт устанавливается.

Человечество сейчас разумным образом решило, что в наши дни у него есть возможность относительно много по сравнению с прошлыми эпохами тратить ресурсов на разработку того, что не демонстрирует быстрого применения, но общая практика показывает, что в итоге это все себя оправдывает. Тем более что как в анекдоте: «Математика очень дешевая наука — нужны только карандаши, бумага и ластики».

Если есть желание организовать систему улиц или по уже известным улицам проложить транспортные маршруты — это, безусловно, математическая задача.

Для математики всегда была важна внутренняя логика развития. В этом смысле она так до сих пор и строит этот свой большой мир, а отдельные его кусочки оказываются полезны для чего-то. Представьте, что у нас были бы какие-то люди, занимающиеся фундаментальной медициной, которые придумывали бы такие странные методы, что они потом подошли бы для лечения инопланетян. Вот прилетели инопланетяне: «У нас авария, есть пострадавший». — «О, да-да, мы, кстати, тут придумали такую штуку — на Земле она никому не нужна, а вот вам-то, значит, для вот этого третьего щупальца очень подойдет». И хоп — она правда подошла. Вот математика работает таким же поразительным образом. Придумываются вещи, которые не были ранее востребованы и, казалось бы, никогда не понадобятся. Это называют непостижимой эффективностью математики. Просто теоретические выкладки вдруг оказываются реальностью, о чем математики и не подозревали, пока их создавали.

Есть ли у математики какие-то свойства, которые, скажем, ученым известны, а обычным людям непонятны, недоступны, они просто о них не знают, но были бы полезны в повседневной жизни? Может ли математика вообще быть полезной нам каждый день, кроме как считать сдачу в магазине?

Какие-то простые ноу-хау, безусловно, есть. Скажем, простой алгоритм выбора более быстрой очереди в кассу супермаркета. Есть замечательный анекдот о пользе математики. Продавщица всех обманывает, обвешивает. Человек кладет на весы огромную связку бананов и спрашивает: «Сколько весит?» «Пять килограммов», — отвечает та, преувеличивая. Он делит связку пополам, кладет одну часть на весы, спрашивает: «Сколько весит?» Та отвечает: «Три». — «О! Значит, я возьму оставшиеся два».

Есть старая, если не ошибаюсь, Ломоносова, фраза: «Математику изучать надобно, поскольку она в порядок ум приводит». Она не теряет свою актуальность, потому что в некотором смысле простые математические занятия похожи на занятия спортом. Упражнения в спортзале развивают определенные группы мышц, а математические навыки позволяют, я бы сказал, принимать более рациональные решения.

Связаны ли как-то математика и организация городской среды?

Безусловно, да. Если есть желание организовать систему улиц или по уже известным улицам проложить транспортные маршруты — это, безусловно, математическая задача. И люди давно их начали решать. Точно так же, как другой часто встречающийся пример: составление расписаний. Это тоже математическая задача на оптимизацию: у вас есть много всего, есть определенные требования.

Вообще говоря, мы живем в мире, где очень много всего происходит в соответствии с законами математики. Каждое здание вокруг нас строится не просто по художественному эскизу архитектора, оно потребовало инженерных расчетов. Все сконструированные и сооруженные объекты их требуют: машины, эскалаторы, светофоры, дороги. Все больше попыток использовать математику в экономике, теорию игр используют в прикладной политике, так сказать. Скажем, математические задачи лежат в основе организации системы выборов или определения победителей в разного рода премиях. В некоторых системах выбор кандидатов осуществляется часто по очень сложным алгоритмам. Математика используется при распределении ограниченного числа ресурсов, например выдаче грантов. Скажем, у вас есть 11 мест, 164 заявки на них, и вам нужно, не потратив всю жизнь на это, как-то честно и разумно провести конкурс. Для этого тоже разрабатываются математические методы.

Собственно, не надо и в политику далеко ходить. Вот самая простая ситуация в рабочем коллективе: вы решаете, куда всем вместе пойти. Кто-то говорит, что никуда не хочет идти, кто-то предлагает просто погулять, а кто-то активно тащит всех прыгать с парашютом. Так вот, математически количество очень активных сторонников определенной точки зрения, требующееся, чтобы сдвинуть всех остальных, невелико, порядка 10%.

Вся эпидемиология основана на математическом анализе. Появилось очень много работ, анализирующих распространение ковида в тех или иных странах, и накладывание этого на размеры городов, устройство их транспортных и инженерных сетей. Все это показывает, как математика реагирует на внешние запросы.

Что касается российской математической школы или российских математиков — насколько они впереди планеты всей?

Мы узнаем выдающихся математиков, когда им уже лет пятьдесят-шестьдесят и все основные результаты они получили раньше. Вообще российская наука продолжает существовать в неправильной парадигме: мы очень печалимся, что у нас люди уезжают. Но это нормальный процесс. Печалиться надо, что к нам не приезжают другие. То есть речь не о том, чтобы, воспитав ученого, не дать ему уехать, а если он уехал, то его вернуть. Это всегда проигрышная стратегия. Важно, чтобы у нас был приток мозгов. Все-таки там, где математика хорошо развивается, не только есть свои школы, но есть и свободное общение. Мне кажется, у нас этого существенно не хватает. Во всех науках, математика не исключение.

16 мая Политехнический музей приглашает детей и их родителей на встречу «100 вопросов ученому» с астрофизиком Сергеем Поповым. Для участия нужна регистрация.

Фото: из личного архива Сергея Попова